Tübitak 21. Ulusal – 2013 Lise Matematik Olimpiyatı 1. Aşama Sınavı Çözümleri Üzerine Bir Değerlendirme


Tek yıllar zor olur diye bir söylenti halk arasında dolanıp durmaktaydı zaten. 2013 1. aşama sınavının sonuçlarına göz attığımızda bu söylentinin bu sene de haklı çıktığını gördük. Olimpiyat Çalıştırıcı hocalarımızdan biri 2013 ulusal lise matematik 1. aşama sınavının ne ölçüde zor olduğunu tespit etme adına, her bir sorunun zorluk seviyesini tek tek incelemiş. Sorularının özelleştirilebilirliğini, kaba kuvvetle çözülebilirliğini ve hangi matematiksel çözüm aletlerini kullanmayı gerektirdiğini değerlendirmiş. Bu çalışma 2013 Tübitak 1. Aşama sınavının çözümlerinin bir kritiği hükmündedir. Tam çözümler için başka sitelere bakmanız gerekiyor. Geomania.org’nın forum kısmında, konu ile ilgili bir tartışma mevcut. 2013 ulusal lise matematik olimpiyat soruları ve cevap anahtarı zaten Tübitak’ın sitesinde mevcut her daim. Koymiyim dedim ama neyse işte ilgili linkler:
(sorular)(cevaplar)(çözümler)

“Kaba kuvvetle çözülebiliyor mu?” dan kasıt şu: bazı soruları hiç bir şey bilmeyen bir öğrenci bile yeterince vakit ayırıp amele metotlarla sayarak veya tek tek durumlara bakarak yada çok fazla 4 işlem yaparak yada şıklardan giderek çözebilir. Daha çok kombinatorikte karşımıza çıkan bu durum şu yüzden önemlidir; soruyu istenilen şekli ile çözen çalışkan öğrenci ile olimpiyat tecrübesi olmayan çömez öğrenciyi aynı seviyeye indirir.

Birazdan okuyacağınız değerlendirmeye göre bu sınavda özelleştirilebilinen 2 soru, kaba kuvvetle çözülebilinen 14 soru, tecrübe ve donanım gerektiren 20 soru ve hiçbiri şıkkının doğru cevap olduğu 4 soru var. Sınavın zorluğu ilk iki grubun adedi ile ters son iki grubun adedi ile doğru orantılı olduğu da çoğunluğumuzun malumudur.
Sınav Zorluğu = (H x T)/(K x Ö) = (4 x 20)/(14 x 2) = 2.86 zr

Şimdi soruların çözümlerinin kritiğine geçebiliriz. Sorular ve cevaplar “A kitapçığı”na göredir.

SORU 1:

Yorum:               Şıkların birinde 23/8 olsa daha çeldirici olurdu.
Gerekli Çözüm Aletleri:     İç teğetçemberin kenarlar değdiği noktaların kenarları u-a, u-b, u-c şeklinde ayırması,
GAB, GAC, GBC nin eşit alanlara sahip olması,
sinüs-alan formülü, u.r alan formülü
Özelleştirilebilir mi:           Hayır
Kaba Kuvvetle Çözülebilir mi?:     Hayır
Tecrübe Gerektiriyor mu?:      Evet

SORU 2:

Yorum:              
Gerekli Çözüm Aletleri:     klasik bölme, bölünebilme aletleri
Özelleştirilebilir mi:           –
Kaba Kuvvetle Çözülebilir mi?:     –
Tecrübe Gerektiriyor mu?:      –

SORU 3:

Yorum:               2013 ün 6’lık tabanda yazımı
Gerekli Çözüm Aletleri:     taban aritmetiği, 4 işlem
Özelleştirilebilir mi:           –
Kaba Kuvvetle Çözülebilir mi?:     evet
Tecrübe Gerektiriyor mu?:      –

SORU 4:

Yorum:               2’nin çift asal olmasını ve komşu karelerin mod 2 de farklı olduğunu görmek yeterli
Gerekli Çözüm Aletleri:     Bir keç deneme yanılma ile suhulete çözülür
Özelleştirilebilir mi:           –
Kaba Kuvvetle Çözülebilir mi?:     evet
Tecrübe Gerektiriyor mu?:      –

SORU 5:

Yorum:               PD2-PE2 = BD2-BE2 görmek gerekiyor
Gerekli Çözüm Aletleri:     Çemberde kuvvet, pisagor bağıntısı
Özelleştirilebilir mi:           A noktasının yeri esnek ama çözüme faydası olacak bir konum tespit edemedim.
Kaba Kuvvetle Çözülebilir mi?:     –
Tecrübe Gerektiriyor mu?:      biraz

SORU 6:

Yorum:              
Gerekli Çözüm Aletleri:     Dümdüz sayma, işlem hatası yapmamak için dikkat gerekli
Özelleştirilebilir mi:           –
Kaba Kuvvetle Çözülebilir mi?:     evet
Tecrübe Gerektiriyor mu?:      –

SORU 7:

Yorum:               Orjinal çözüm için denklemi (x2-4+3)2-(3x)2 formuna getirmek gerekiyor.
Fakat alternatif olarak, denklemin köklerinin 0<x1<1 ve 6<x2<7 şartlarını sağladığı fark edilirse çözüme ulaşılabilinir.
Gerekli Çözüm Aletleri:     Tam kare denklemlere aşinalık, ara değer teoremi
Özelleştirilebilir mi:           –
Kaba Kuvvetle Çözülebilir mi?:     evet
Tecrübe Gerektiriyor mu?:      evet

SORU 8:

Yorum:               Sorudaki deltoid ifadesi her ne kadar başta korkutsa da, düzgün 20-gen olması durumları simetrik hale getiriyor.
Gerekli Çözüm Aletleri:     Sayma, az miktarda içerme dışarma
Özelleştirilebilir mi:           –
Kaba Kuvvetle Çözülebilir mi?:     evet
Tecrübe Gerektiriyor mu?:      –

SORU 9:

Yorum:               A(H1H2H3)=4.A(DEF) görüldükten sonra 4 işlem
Gerekli Çözüm Aletleri:     Benzerlik, basit alan karşılaştırmaları
Özelleştirilebilir mi:           –
Kaba Kuvvetle Çözülebilir mi?:     –
Tecrübe Gerektiriyor mu?:      biraz

SORU 10:

Yorum:              
i) 41 den küçük olamayacağı görülür
ii) 41 in sağladığı görülür
iii)42, 43, 44 için belirtilen fonksiyonun arttığı gözlemlenir.
Gerekli Çözüm Aletleri:     soğukkanlılık, n’den küçük n ile aralarında asal kaç sayı olduğunu veren fonksiyonu bilme veya çıkartabilme
Özelleştirilebilir mi:           –
Kaba Kuvvetle Çözülebilir mi?:     –
Tecrübe Gerektiriyor mu?:      evet

SORU 11:

Yorum:               x veya y den herhangi birinin 0 değerini aldığı toplam 4 durum olduğu hemen hesaplanabilir. Böylece soru 3 şıkka düşer. Test tekniği iç güdüleri ile cevabın 4 olduğu daha fazla işlem yapmadan hissedilebilir. Orjinal çözüm ifadeyi iki tam kare toplamına dönüştürerek elde ediliyor.
Gerekli Çözüm Aletleri:     Böyle çift dereceli denklemlerin tam kareler toplamına dönüşme eğilimine sahip olduğunu bilme
Özelleştirilebilir mi:           –
Kaba Kuvvetle Çözülebilir mi?:     evet
Tecrübe Gerektiriyor mu?:      evet

SORU 12:

Yorum:               2k öğrenci için n=k oluyor.
Gerekli Çözüm Aletleri:     küçük k sayıları için denenince çıkıyor.
Özelleştirilebilir mi:           –
Kaba Kuvvetle Çözülebilir mi?:     evet
Tecrübe Gerektiriyor mu?:      –

SORU 13:

Yorum:               A, I, O nun doğrusal çıkması ile çözüme ulaşılıyor
Gerekli Çözüm Aletleri:     Açıları güzel yazabilme, çözüme giden doğrusallıklıkları görebilme, benzer üçgenleri fark edebilme
Özelleştirilebilir mi:           A açısı esnek ama, nasıl özelleşir bilmiyorum
Kaba Kuvvetle Çözülebilir mi?:     –
Tecrübe Gerektiriyor mu?:      evet

SORU 14:

Yorum:              
Gerekli Çözüm Aletleri:     Bu tarz foksiyonların çarpımsal fonksiyon oldukları bilgisi
Özelleştirilebilir mi:           –
Kaba Kuvvetle Çözülebilir mi?:     evet (dümdüz bütün bölenler toplanabilir.)
Tecrübe Gerektiriyor mu?:      birazcık

SORU 15:

Yorum:               12 için karşı örnek kurulursa çözüm daha iyi görülür: 1,2,3,6,12,24,48,96,…,1536
Gerekli Çözüm Aletleri:     en uzun kenarın diğer kenarların toplamlarından küçük olması gerektiği
Özelleştirilebilir mi:           Özelleşmez ama genelleşebilir
Kaba Kuvvetle Çözülebilir mi?:     –
Tecrübe Gerektiriyor mu?:      –

SORU 16:

Yorum:               topların ve kutuların özdeş olmadığının söylenmemesi soruyu çok karışık ve çeldirici yapmış. Çok vakit alan bir soru.
Gerekli Çözüm Aletleri:     İyi bir sayma bilgisi
Özelleştirilebilir mi:           çok zor, belki
Kaba Kuvvetle Çözülebilir mi?:     bi ihtimal
Tecrübe Gerektiriyor mu?:     

SORU 17:

Yorum:              
Gerekli Çözüm Aletleri:     eşkenar üçgenlerde kopyalama metodu
Özelleştirilebilir mi:           –
Kaba Kuvvetle Çözülebilir mi?:     –
Tecrübe Gerektiriyor mu?:      evvet

SORU 18:

Yorum:               orjinal çözüm nasıl bilmiyorum. Ama zor bir soru. tek tek mod 41 de bakılamıyor.
Tn=c(n,1) + ∑c(n,i+1)i2 dizisi tanımlanıp (mod 41)de ingirgenen bir bağıntı elde edilebilir. Yada (x+2)2013 polinomunun çift dereceli katsayılar toplamına bakılabilir.
Gerekli Çözüm Aletleri:     c(n,r)=c(n-1,r) + c(n-1,r-1) bağıntısı yada ileri polinom bilgisi
Özelleştirilebilir mi:           –
Kaba Kuvvetle Çözülebilir mi?:     yeterince vakit varsa çözülebilir tabi ki de.
Tecrübe Gerektiriyor mu?:      evet

SORU 19:

Yorum:               x=20.5 + 1 için minimum değer alıyor. türev almak bile işe yaramıyor
Gerekli Çözüm Aletleri:     kök içindeki ifadeleri tam kareler toplamına dönüştürme, karesel ortalama, 2<x<4 old. görebilme
Özelleştirilebilir mi:           –
Kaba Kuvvetle Çözülebilir mi?:     –
Tecrübe Gerektiriyor mu?:      evet

SORU 20:

Yorum:               Şıklı olması ile şıksız olması arasında hiç bir fark olmayan bir soru.
Sorunun çeldirici kısmı: her taşın hangi ağırlıkta olduğunu tespit etmeniz gerekmiyor. Sadece “her taş üzerinde yazan ağırlıkta” yada “en az bir taş üzerinde yazan ağırlıkta değil” sonuçlarından birine ulaşmanız gerekiyor.

Bu tarz tartma sorularında genelde 3 gruba ayırmanın daha avantajlı olduğunu bilmek lazım.

Gerekli Çözüm Aletleri:     2013 daha küçüksayılar için mesela 3’den 9’a kadar olan sayılar için denemek ve 36<2013<37 old. hesaplamak.
Özelleştirilebilir mi:           –
Kaba Kuvvetle Çözülebilir mi?:     –
Tecrübe Gerektiriyor mu?:      evet

SORU 21:

Yorum:               üçgen ikizkenar kabul edilerek suhuletle çözülür
Gerekli Çözüm Aletleri:     ortaokul geometrisi
Özelleştirilebilir mi:           evet
Kaba Kuvvetle Çözülebilir mi?:     –
Tecrübe Gerektiriyor mu?:      –

SORU 22:

Yorum:               n2+1 parantezine alınabildiğini görmek gerekiyor. Başka türlü yapmak imkansız. Çok fazla vakit alabilen bir soru.
Gerekli Çözüm Aletleri:     ileri çarpanlara ayırma, çinli kalan teoremi
Özelleştirilebilir mi:           –
Kaba Kuvvetle Çözülebilir mi?:     –
Tecrübe Gerektiriyor mu?:      evet

SORU 23:

Yorum:              
Gerekli Çözüm Aletleri:     basit fonksiyon bilgisi
Özelleştirilebilir mi:           –
Kaba Kuvvetle Çözülebilir mi?:     evet
Tecrübe Gerektiriyor mu?:      –

SORU 24:

Yorum:               {9,10,11,12} kümesinden hiç bir değerin sağlamaması soruyu bir nebze kolay kılmış. Çünkü örnek üretmesi çok zahmetli. Her gruptaki taş sayısı ve her grubun toplam ağırlığını kontrol eden iki diziye gerekli basit eşitsizlikler uygulanır. Böylece en ağır grubun en az taş alması gerektiği elde edilir. Daha sonra istenilen 4 değer için de çelişkiye ulaşılır.
Gerekli Çözüm Aletleri:     kombinatorik eşitsizlik, soğukkanlılık
Özelleştirilebilir mi:           –
Kaba Kuvvetle Çözülebilir mi?:     –
Tecrübe Gerektiriyor mu?:      evet

SORU 25:

Yorum:               Biraz gaddarca bir soru tipi. 40,40,100 üçgeni ile alakalı soru çözmemiş birinin yapması çok zor. Trigonometrik çözümü var mı bilmiyorum.
Gerekli Çözüm Aletleri:     40,40,100 üçgenine aşinalık, üçgen kopyalama
Özelleştirilebilir mi:           –
Kaba Kuvvetle Çözülebilir mi?:     –
Tecrübe Gerektiriyor mu?:      evet

SORU 26:

Yorum:              
Gerekli Çözüm Aletleri:     modüler aritmatik, bölme bölünebilme, dört işlem
Özelleştirilebilir mi:           –
Kaba Kuvvetle Çözülebilir mi?:     –
Tecrübe Gerektiriyor mu?:      –

SORU 27:

Yorum:              
Gerekli Çözüm Aletleri:     ara değer teoremi, çarpanlara ayırma
Özelleştirilebilir mi:           –
Kaba Kuvvetle Çözülebilir mi?:     evet
Tecrübe Gerektiriyor mu?:      –

SORU 28:

Yorum:               Sınavdaki en tartışmalı soru. Yeni yazılan sayının silinen sayıdan küçük olması gerektiği verilmediği için cevap şıkkı değiştirildi. Eğer soru doğru şekilde yazılmış olsaydı, yani yeni yazılan sayının silinen sayıdan küçük ama yarısından büyük eşit olması gerektiği belirtilmiş olsaydı, gerçekten çok zor bir soru oluyordu. O durumda çözüm şu şekilde olacaktı; Mod 2 de küçük sayı büyük sayıyı bölüyorsa kazanan ikili değilse kaybeden. Böylece verilen ikililerden ilk ikisi kaybeden son üçü ise kazanan ikili olacaktı Ayşe için. Bunu görmesi çok zor. Kazanan ve kaybeden ikililerin listesini yapılsa bile çözümü görmek için bir çok sayıyı incelemek gerekecekti. Bu tip soru çözmemiş biri kaba kuvvetle çözemeyecekti. Bu hali ile sorunun şıklı soru olması ile klasik olması arasında bir fark olmayacaktı. Bütün bunlarla beraber, sınavda soruyu yanlış anlayan öğrenciler içi büyük vakit kaybı olmuş olabilir. Nitekim cevap şıkkı değitirilene kadar ben de yanlış anlamıştım.
Gerekli Çözüm Aletleri:     –
Özelleştirilebilir mi:           –
Kaba Kuvvetle Çözülebilir mi?:     –
Tecrübe Gerektiriyor mu?:      –

SORU 29:

Yorum:               Açılar yazılınca O1AB1 ikizkear çıkıyor. İstenilen uzaklık cot(A) ya eşit oluyor.
Gerekli Çözüm Aletleri:     Açıları güzel yazabilme, kenarları verilen üçgenin bir açısının kotanjantını bulabilme
Özelleştirilebilir mi:           –
Kaba Kuvvetle Çözülebilir mi?:     –
Tecrübe Gerektiriyor mu?:      biraz

SORU 30:

Yorum:              
Gerekli Çözüm Aletleri:     asal sayılara aşinalık, 4 işlem
Özelleştirilebilir mi:           –
Kaba Kuvvetle Çözülebilir mi?:     evet
Tecrübe Gerektiriyor mu?:      –

SORU 31:

Yorum:               Böyle bir dizi olmaması dışında sorunun bir problemi yok. Dizinin terimleri sadece a1 e bağlı. Dizi bir bilinmeyenli fakat verilenlerde iki değer var. Gerekli işlemleri yapmadım ama muhtemel böyle bir dizi olmadığı ispatlanabilir. Böyle bir dizinin varlığını kabul edersek soru çok basit
Gerekli Çözüm Aletleri:     n yerine 2011 ve 2012 yazabilme.
Özelleştirilebilir mi:           –
Kaba Kuvvetle Çözülebilir mi?:     evet
Tecrübe Gerektiriyor mu?:      –

SORU 32:

Yorum:              
Gerekli Çözüm Aletleri:     içerme dışarma yada dümdüz sayma
Özelleştirilebilir mi:           –
Kaba Kuvvetle Çözülebilir mi?:     evet
Tecrübe Gerektiriyor mu?:      –

SORU 33:

Yorum:               Hiç düşünmeden özelleştirilmesi gereken bir soru. A=90° ve ABC 3-4-5 üçgeni kabul edilirse suhuletle çözüme ulaşılabilir.
Gerekli Çözüm Aletleri:     özelleştirisel* bakış açısı
Özelleştirilebilir mi:           evet
Kaba Kuvvetle Çözülebilir mi?:     –
Tecrübe Gerektiriyor mu?:      –

SORU 34:

Yorum:               1 den 6 ya kadar deneyim mod 7 de bakılır.
Gerekli Çözüm Aletleri:     mod 7 de tam küplerin 0,1,-1 aldığı bilgisi ve dört işlem
Özelleştirilebilir mi:           –
Kaba Kuvvetle Çözülebilir mi?:     –
Tecrübe Gerektiriyor mu?:      biraz

SORU 35:

Yorum:               21 kere kısmı soruyu zorlaştırıyor. 7 e kadar açtım ancak algoritma bulabildim. Çok zaman alıyor ve köklü ifade ve tam sayı fonksiyonu soruyu ürkütücü gösteriyor. Hiç uğraşmadan geçen çok olmuştur zannediyorum.
Gerekli Çözüm Aletleri:     Analitik bakış açısı ve sabır
Özelleştirilebilir mi:           –
Kaba Kuvvetle Çözülebilir mi?:     –
Tecrübe Gerektiriyor mu?:      evet

SORU 36:

Yorum:               Analitik kombinatorik. Her oyuncunun diğer erkeklerden ve diğer kadınlardan aldığı puan yazılır. Daha sonra 2 erkek, 2 kadın ve 1 erkek 1 kadın yapılan üç gruptaki maçlardan elde edilen toplam puan hesaplanır. Bu tip soru çözmüşolmak gerekiyor. En küçük örnek 6 erkek 10 kadın. Her erkek 2.5 her kadın 4.5 puan alır. Örneği kurması kolay.
Gerekli Çözüm Aletleri:     Kombinatorik sorularına analitik yaklaşım
Özelleştirilebilir mi:           –
Kaba Kuvvetle Çözülebilir mi?:     –
Tecrübe Gerektiriyor mu?:      evet

*: Bu kelime olimpiyatçılara aittir ve tek “l” ile yazılan özeleştirisel kelimesi ile karıştırılmamalıdır.

Pek Mühim Not: Mathematist Bey’in ve bütün Matematik aleminin Ramazan Bayramı’nı tebrik ederim. Bu çalışmada emeği geçen sayın Ahmet Faruk Aslan ve sevgili Ercan, Samet, Ragıb, Ayşen ile Gülsema Nur’a da teşekkür ederiz.

Bir Yorumda Bulunun.

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s